Tähtikuvioita

Tähti on matematiikassa säännöllinen itseään leikkaava monikulmio, joten tähtikuviosta voi käyttää myös nimitystä tähtimonikulmio (star polygon). Tähtimonikulmio on tasasivuinen ja tasakulmainen monikulmio.

Tähden piirtäminen aloitetaan ympyrästä, joka ensin jaotellaan tasavälein. Piirretään esimerkiksi tähtiviisikulmio, jolloin ympyrän kehä jaetaan ensin 72° välein. Tämä onnistuu helposti harpin ja piirtokolmion avulla. Seuraavaksi keksitään sääntö, kuinka tähti piirretään. Piirrämme tähden siten, että yhdistämme, joka toisen pisteen ympyrän kehällä, jolloin tuloksena on säännöllinen tähtiviisikulmio {5/2}, jossa on viisi kärkeä ja viisi leikkaavaa reunaa. Tähtikuvioista voimme käyttää merkintää {m/n}, jossa m on pisteiden määrä ympyrän kehällä eli tähden kärkien lukumäärä ja n on askel eli monesko piste yhdistetään keskenään. Merkintä {5/2} tarkoittaa, että ympyrällä on 5 pistettä tasavälein eli tähdellä on viisi kärkeä ja yhdistämme viivalla joka toisen pisteen, jolloin yhdistettävien viivojen väliin jää yksi piste. Jos väritämme tähtiviisikulmion, niin tällöin saamme dekagonin eli koveran kymmenkulmion, jossa on kymmenen kärkeä. Kovera nimitys tulee siitä, että joka toinen kärki on kymmenkulmiossa sisäänpäin ja joka toinen kärki ulospäin. 

Tähtikuvion kulmien määritys sopii myös hyvin oppilaiden tehtäväksi ja onnistuu peruskoulun matematiikan tiedoilla. Katsotaan esimerkkinä yllä olevaa oikeanpuoleista kuvaa. Jos ympyrä jaetaan viiteen osaan, niin keskuskulma BOC = 360°:5 = 72°. Keskuskulmaa vastaava kehäkulma on puolet tästä eli kulma BAC = 36°. Tähden sakara muodostaa tasakylkisen kolmion, jossa huippukulma A on 36°. Tästä on helppo päätellä kulma DFA = 72°, joka on tasakylkisen kolmion kantakulma. Vastaavasti kulma AFE on kulman DFA vieruskulma jne. Onko muita mahdollisia tähtiviisikulmioita, kuin {5/2}? Piirrämme tästä kaikki mahdolliset variaatiot. 

Huomaamme, että {5/1} ja {5/4} antavat tulokseksi säännöllisen viisikulmion, joka ei ole tähtikuvio. Sitä vastoin {5/2} ja {5/3} ovat tähtikuvioita, mutta tuloksena on täysin sama tähtikuvio. Tapauksia {5/0} ja {5/5} ei edes kannata piirtää, koska tuloksena olisi tällöin pelkkä piste. Huomaamme, että viiden pisteen jaottelulla saadaan vain yksi mahdollinen tähtikuvio, jolle käytetään myös nimitystä pentagrammi. Kreikan kielen sana penta tarkoittaa viittä ja grammḗ tarkoittaa viivaa. Alun perin sana pentagrammi on tarkoittanut viiden tähden muodostamaa kuviota tähtitaivaalla. Jaotellaan seuraavaksi ympyrä kymmeneen osaan eli pisteet ovat tällöin 36° välein ympyrän kehällä. Kuinka monta erilaista tähtikuviota nyt syntyy? [1]

Kun tarkastelemme tuloksia, niin huomaamme, että lähes kaikki kuviot ovat pareittain. Tapaukset {10/1} ja {10/9} antoivat tulokseksi säännöllisen kymmenkulmion, joka ei ole tähtimonikulmio. Tapaukset {10/2} ja {10/8} näyttävät tähtimonikulmiolta, mutta tarkempi tutkistelu paljastaa, että siinä on kaksi viisikulmiota päällekkäin, joten tätä ei voida hyväksyä tähtimonikulmioksi. Sitä vastoin tapaukset {10/3} ja {10/7} antoivat tulokseksi tähtikymmenmonikulmion. Myös {10/4} ja {10/6} ovat tähtimonikulmiota, mutta kyseessä ei ole tähtikymmenkulmio, vaan siinä on kaksi tähtiviisikulmiota päällekkäin. Ja tapaus {10/5} antaa pelkästään tulokseksi viisi janaa. Havaitsemme, että jaottelemalla ympyrän kymmeneen väliin voimme piirtää vain yhden aidon tähtikymmenkulmion. Oliko tulos yllätys? Luulisi, että variaatioita olisi ollut enemmän. [1]

Toistuvia tähtikuvioita rakennustaiteessa on löydettävissä sekä Intiasta että islamilaisista maista. Katsotaan käytännössä, kuinka 10-sakaraista tähteä voitaisiin käyttää toistuvan ornamenttikuvion luomisessa. 1) Piirrä aluksi {10/2} säännöllä tähtikuvio kymmenkulmion sisälle. 2) Piirrä samaan kuvioon {10/3} säännöllä toinen tähtikuvio. Kuvassa se on kuvattu sinisellä reunaviivan värillä. 3) Jokaisen sinisen sakaran sisäpuolella sininen tähtikuvio leikkaa mustan tähtikuvion kanssa kärkeen nähden mustalla vaakasuoralla viivalla. Piirrä vastakkaiselle puolelle viiva, joka kulkee sinisen ja mustan viivan leikkauspisteen kautta. Tämä viiva on kuvattu punaiselle ja näitä viivoja on yhteensä kymmenen kappaletta. Olet saanut apukuvion, jota voit käyttää ornamenttikuvion luomisessa. 4) Piirrä kuvion sisäpuolelle ja ulkoreunalle 10-sakarainen tähti. Piirrä lisäksi 10 kpl pieniä 5-sakaraisia tähtiä ja 10 kpl timantin muotoista kuusikulmiota kiertämään kuviota. Tällöin olet saanut aikaiseksi ornamenttikuvion ja se on kuvattu violetilla reunaviivan värillä. 5) Väritä ornamenttikuvio kuten kuvassa. Teemme lopuksi vielä tästä ornamenttikuviosta laatan. Laatta on neljäkkään muotoinen ja on kuvattu mustalla reunaviivan värillä. 6) Eli nyt olemme saaneet aikaiseksi laatan, jossa on ornamenttikuvio, jonka pohjana on kymmensakarainen tähtikuvio. Kopioimalla laattaa ja laittamalla laatat vierekkäin voimme peittää suuriakin alueita tällä ornamenttikuviolla. Tämä kuvio toistuu esimerkiksi 10-osaisessa ruusukkeessa, joka on hyvin yleinen ornamenttikuvio islamilaisissa maissa. [2]

Voisiko tähtikuvioita piirtää oppilaiden kanssa tietokoneella tai ChromeBookilla? Kuvioita on helppo piirtää esimerkiksi Geogebralla tai sitten voi käyttää jotain vektorigrafiikkapiirto-ohjelmaa, kuten esimerkiksi Inkscapea tai BoxySVG:tä, joka on selainpohjainen ohjelma. Geogebra sisältää valmiin piirtotyökalun: Säännöllinen monikulmio, jonka avulla piirretään ensin kaksi pistettä, joista muodostuu monikulmion yksi sivu. Tämän jälkeen ohjelma kysyy kärkipisteiden lukumäärää. Syötä kärkipisteiden lukumäärä, esimerkiksi 8, ja napsauta Hyväksy-painiketta ja säännöllinen kahdeksankulmio ilmestyy työpöydälle. Ota Kahden pisteen välinen jana -työkalu ja piirrä esimerkiksi säännön {8/3} mukainen tähtimonikulmio monikulmion sisälle. Näin saatu kuva on esitetty alhaalla olevassa kuvassa vasemmalla. 

Yllä olevassa kuvassa oikealla on BoxySVG-vektorigrafiikkaohjelmalla piirretty {7/3} tähtikuvio, joka on säännöllisen seitsenkulmion sisällä. BoxySVG:ssä on työkaluvalikossa vasemmalla ”Other Shape” työkalu, josta voi valita monikulmion (N-gon) ja alavalinnasta Arms-voit valita sivujen määrän, esimerkiksi 7. Kun piirrät monikulmion hiirellä vetämällä, pidä vaihto(shift)-painike pohjassa näppäimistöllä, niin lopputuloksena on säännöllinen seitsenkulmio. Lopuksi piirrä tähtikuvio viivoilla Line-työkalulla napsauttamalla hiirellä jokaisen monikulmion nurkassa. Boxy SVG:ssä on myös Tähti-työkalu (Other Shapes | Star). Voit kokeilla piirtää tällä 7-sakaraisen tähden ja tämän pitäisi sopia piirtämäsi kuvion päälle. Vaikka tällä Tähti-työkalulla piirretty kuvio on itseasiassa 14-monikulmio, jolla on vain tähden muoto. Artikkelin kuvat 1-4 on puoelestaan piirretty Inkscape-ohjelmalla, joka on paras ilmainen vektorigrafiikkaohjelma.

Toivottavasti tämä antoi ideoita luoville kokeiluille, olkoonpa sitten tekniikkana tietokoneen piirustusohjelma, matematiikkaohjelma tai harppi ja kulmaviivoitin. Hauskoja piirtelyhetkiä yksin ja oppilaiden kanssa!

Kuvat: Tuomo Riekkinen

Lähteet

[1] Wikipedia: Star polygon https://en.wikipedia.org/wiki/Star_polygon

[2] #13 – Tenfold Rosette 3 Ways Tutorial – Drawing & Painting Islamic Geometric Pattern https://www.youtube.com/watch?v=0ke_GpoBa-s

Tilaa Dimension uutiskirje – saat sähköpostiisi aina kuunvaihteessa koosteen tuoreimmista artikkeleista