Pallogeometrian perushahmotusta, osa 2

Tasogeometrian yksinkertaisin monikulmio on kolmio. Pallogeometriassa on vieläkin yksinkertaisempi pallomonikulmio. Pallokolmion kulmien summa tuottaa yllätyksen.

Kun isoympyrät leikkaavat toisensa, niin ne muodostavat kulman, jonka kärkenä on leikkauspiste. Isoympyrät, tarkemmin sanottuna leikkauspisteiseen piirretyt isoympyröiden tangentit, ovat pallokulman kylkinä. Pallokulma on samalla isoympyröiden määrittelemien tasojen välinen kulma.  – Kaksi isoympyrää muodostavat itse asiassa aina kahdeksan kulmaa. Miten monta erikokoista kulmaa voi enintään muodostua?

Isoympyrät leikkaavat toisensa aina kahdessa pisteessä, jotka ovat pallon vastakkaisilla puolilla, samalla tavalla kuin pituuspiirit leikkaavat toisensa maapallon navoilla. Ne rajoittavat siten kuvion, jossa on kaksi kärkeä ja sivuina isoympyrän puolikkaat. Pallon pinta jakaantuu itse asiassa neljään tällaiseen osaan, joista vastakkaiset kaksi ovat yhteneviä.

Nämä kuviot ovat pallokaksikulmioita. Niitä voisi kutsua pallokaksioiksi, ellei kaksio viittaisi niin vahvasti kaksihuoneiseen asuntoon. Kuvion kulmat ovat yhtä suuret. Voit siirtää vapaasti kuvion toista kärkipistettä ja kääntää puoliympyränkaaria tarttumalla kaarella olevaan pisteeseen, mutta et voi siirtää toista kärkipistettä. Miksi et?

Pallokolmion määräävät sen kärkipisteet aivan samalla tavalla kuin tasokolmionkin. Niitä voit liikuttaa vapaasti. Tämä merkitsee sitä, että kolme pallon pinnalla olevaa pistettä, jotka eivät ole samalla isoympyrällä, määrittelevät pallokolmion. Kolmion sivut ovat pallojanoja eli isoympyröiden osia. Jos piirrät näkyviin kaikki kolme isoympyrää kokonaan, niin kuinka monta pallokolmiota muodostuu?  Tarkastele myös pallokolmion kulmien summaa. Mitä huomaat?

Sarja jatkuu…

Lue myös sarjan ensimmäinen  osa.

Aloituskuva: Nagy Arnold / Unsplash