Pallogeometrian perushahmotusta, osa 1

Pallogeometria on pallon pinnan geometriaa. Siinä on paljon samanlaisia piirteitä kuin tasogeometriassa. Pinnan äärellisyys ja kaarevuus pakottavat kuitenkin ajattelemaan koulussa opittua geometriaa uudella tavalla.

Konkreettinen tekeminen auttaa tavallista oppijaa ymmärtämisen alkuun paremmin kuin sanalliset määritelmät ja selitykset. Parasta siis olisi, jos käytettävissäsi olisi pallogeometrian opiskeluun suunniteltu Lénartin pallo isoympyräviivaimineen ja palloharppeineen. Jos ei ole, niin mikä tahansa styrox-pallo, nuppineulat ja kumilenkit olisivat avuksi. Tämän jutun lukemiseen niitäkään ei tarvita valttämättä, sillä asioita havainnollistetaan tekstiin upotetuilla vuorovaikutteisilla Geogebra-kuvilla.

Piste on siitä mainio otus (geometrinen olio), että se on sama kaikissa geometrioissa. Konkreettisesti ajatellen piste on vain kohta avaruudessa, olio, jolla ei ole pituutta, leveyttä eikä paksuutta.  Matemaattinen piste on kuitenkin perusolio, jota ei määritellä. Se voi siis näyttää ihan miltä tahansa, kunhan se vain noudattaa samantapaisia sääntöjä kuin tasogeometrian piste. Ei välitetä sellaisesta teoretisoinnista tässä, vaan turvaudutaan tavanomaiseen mielikuvaan.

Suora on kuitenkin ajateltava uudestaan. Onneksi sekin on niitä peruskäsitteitä, joita ei määritellä nykyään samalla tavalla kuin Eukleides teki aikanaan: ”viiva on pituus leveydettä”. Kunhan sillä on vain samat tutut ominaisuudet, esimerkiksi se, että kaksi pistettä määrää suoran, pisteestä voidaan sanoa, onko se tietyllä suoralla, ja suorasta voidaan sanoa, kulkeeko se tietyn pisteen kautta.  Siis eipä hätää!

Kaksi pallon pinnalla olevaa pistettä ja pallon keskipiste määrittelevät tason, joka leikkaa pallon ympyrää pitkin. Se on suurin ympyrä, joka voidaan piirtää pallon pinnalle. Siksi sille on annettu nimi isoympyrä. Se on myös ainoa näiden kahden pisteen kautta kulkevista ympyröistä, joiden keskipiste on pallon keskipisteessä. Huomaat sen, kun raahaat pisteitä A ja B pallon pintaa pitkin. Ihan niin kuin kaksi pistettä määrittelevät tasogeometrian suoran yksikäsitteisesti.

Lähde: https://www.geogebra.org/m/hsgxyppq

Isoympyrän säde on sama kuin pallon säde. Sen keskipiste on pallon keskipisteessä. Isoympyrän tasoa vastaan kohtisuora, pallon keskipisteen kautta kulkeva suora leikkaa ympyrän kahdessa pallon vastakkaisilla puolilla olevassa pisteessä, joita kutsutaan isoympyrän navoiksi. Isoympyrän jokaisen pisteen etäisyys navasta pallon pintaa pitkin mitattuna on isoympyrän neljännes. Napa on siten isoympyrän pallokeskipiste. Vastaavasti isoympyrän pisteen ja navan etäisyys pallon pintaa pitkin mitattuna on isoympyrän pallosäde.

Isoympyrän tekee suoran vastineeksi ennen kaikkea se, että kahden pisteen välinen lyhin reitti kulkee isoympyrää pitkin. Pallon pinnalle pingotettu kumilenkki asettuukin siksi isoympyrälle. Tasogeometriasta pallogeometria eroaa ratkaisevasti siinä, että pallogeometriassa ei ole yhdensuuntaisuutta. Mitkä tahansa kaksi isoympyrää leikkaavat aina toisensa. Vai onnistutko siirtämään pisteet A, B, C ja D sellaisiin kohtiin, että isoympyrät eivät leikkaisi?

Lähde: https://www.geogebra.org/m/j7ej2f67

Kun pallogeometriassa ei ole samanlaisia suoria kuin tasogeometriassa, niin ei siellä voi olla janojakaan. Kaksi pistettä rajaavat kuitenkin isoympyrästä osan, jonka pituus on näiden pisteiden välinen lyhin etäisyys pallon pintaa pitkin mitattuna. Siksi tällaista isoympyrän osaa voitaisiin kutsua pallojanaksi. Siniset pisteet määrittelevät isoympyrän ja punaiset pisteet sillä olevan pallojanan. Kaikkia pisteitä voit raahata vapaasti.

Lähde: https://www.geogebra.org/m/ydhx5mgp

Palloympyrä on pallon pinnalle piirretty ympyrä. Pallogeometrinen keskipiste, pallokeskipiste, on pallon pinnalla ja säde on pallon pintaa pitkin kulkeva pallojana. Todellinen keskipiste on pallon sisällä. Pallokeskipiste ja palloympyrän kehän piste ovat vapaasti siirrettävissä. Valmista toimintoa palloympyrän piirtämiseen Geogebrassa ei ole, mutta ympyrä on piirrettävissä niin, että se käyttäytyy kuin aito palloympyrä.

Lähde: https://www.geogebra.org/m/dgzzzcnc

Sarja jatkuu…

Hannu Korhonen Orimattila

Aloituskuva: Nagy Arnold / Unsplash