Maailmassa riittää tutkittavaa
Kaisa Matomäki on eräs lahjakkaimpia, jos ei peräti lahjakkain nuori matemaatikko Suomessa. Hän toimii professorina Turun yliopistossa erikoisalanaan analyyttinen lukuteoria.
Työnsä vaativuudesta huolimatta, hän osaa johdatella maallikonkin asiaan kiehtovalla tavalla kuten oheisesta Suomen tiedeseuralle tehdystä esityksestä käy ilmi. Jopa peruskoululainen pystyy oivaltamaan matemaattisen todistuksen alkulukujen äärettömyydestä ja todistusta kannattaakin käsitellä nuorten matemaatikonalkujen kanssa oppitunneilla.
Tässä jutussa käydään läpi hänen ajatuksiaan matematiikan opetuksesta ja siihen liittyvistä asioista. Kaisa Matomäki on myös kolmen lapsen äiti, joten hän pystyy matematiikan tutkimuksen ohella aitiopaikalla seuraamaan lapsen matemaattisen ajattelun kehittymistä.
Opettajalla on merkitystä
Kaisa Matomäki on useassa haastattelussa kertonut, että erityisesti kuudennen luokan opettaja (Harri Ketamo) innosti häntä matematiikan maailmaan. Perustehtävät olivat olleet helppoja muutoinkin, mutta sen sijaan, että opettaja olisi antanut lisää ja lisää vastaavia tehtäviä, Ketamo oli antanut hänelle kiinnostavia ja uudenlaisia lisätehtäviä. Opettajalle on usein haastavaa tietää, millaiset tehtävät olisivat sopivia kenellekin, mutta esimerkki osoittaa, että tunneilla eriyttämistä kannattaa pohtia ja sillä voi olla kauaskantoisia seurauksia. Oivalluksen ilo on oppimisen merkittävä rakennuspalikka.
Peruskoulun jälkeen Kaisa Matomäki siirtyi lukioon Päivölän opistoon matematiikkalinjalle. Viimeistään siellä hänelle valkeni, että matematiikan tutkijan ura on se, mitä hän haluaa tehdä.
Kiehtovat alkuluvut
Lukurykelmä näyttää ensin varsin sekalaiselta ja satunnaiselta, kunnes laitamme luvut suuruusjärjestykseen. Siinä vaiheessa paljastuu, että yhtä lukuun ottamatta kaikki kuvan luvut ovat alkulukuja eli ne ovat jaollisia vain itsellään ja ykkösellä. Parillisia lukuja alkulukujen joukkoon mahtuu vain yksi, kakkonen.
Jo Eukleides todisti aikanaan, että alkulukuja on ääretön määrä.
Yksinkertaisimmillaan alkulukuja voidaan etsiä Eratostheneen seulan avulla. Se toimii seuraavasti:
Kirjoitetaan lukuja järjestyksessä siihen saakka, josta joukosta halutaan etsiä kaikki alkuluvut.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Poistetaan joukosta kaikki ensimmäisen alkuluvun, kakkosen, monikerrat.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Jäljelle jäävät luvut
2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
Todetaan, että kolmonen on alkuluku, koska se ei ollut jaollinen millään pienemmällä alkuluvulla. Poistetaan tästä kaikki ensimmäisen luvun, kolmosen, monikerrat. Kolmonen on alkuluku, joten se jää.
Jäljelle jää
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Todetaan, että luku 5 on alkuluku, koska se ei ollut jaollinen millään pienemmällä alkuluvulla. Jatketaan edelleen poistamalla kaikki luvun 5 monikerrat, joita näin pieneen lukujoukkoon ei jäänytkään. Jäljelle jääneet luvut ovat alkulukuja. Itse asiassa seulominen riittää suurimman luvun neliöjuureen saakka.
Eratostheneen seula on yksinkertainen, mutta varsin tehoton menetelmä, jos tarkasteltavana on suuri määrä lukuja.
Alkuluvut ovat kiehtovia. Eratostheneen seulan esimerkki kertoo, että lähes kuka tahansa pystyy hahmottamaan alkuluvun idean ja etsimään niitä itsekin. Pitkään on tiedetty, että noin puolella kaikista luvuista on pariton määrä alkutekijöitä ja puolella parillinen. Kaisa Matomäki ja hänen työparinsa Maksym Radziwill todistivat muun muassa sen, että sama jako pätee lyhyilläkin lukuväleillä.
Tästä päästäänkin koululaisten usein esittämään kysymykseen: ”Missä me tätä tarvitaan?”
Tähän ei suoraan olekaan vastausta, ei ainakaan sellaista, jonka koululainen voisi ymmärtää. Sovelluksia on tähän mennessä löytynyt matematiikan sisältä ja kiehtovaa onkin ajatella, millaisia sovelluksia aikanaan löytyy matematiikan ulkopuolelta.
Jo tässä vaiheessa tiedetään alkulukujen sovelluksista salausalgoritmien käytössä, kryptografiassa ja koodausteoriassa, jonka mahdollisuuksia hyödynnetään mm. korjattaessa kännykkäverkon häiriöiden aiheuttamia virheitä.
Sovelluksia löytyy varmasti vuosien mittaan lisääkin, mutta tutkimuksen syyksi riittää kyllä pelkästään aihepiirin kiinnostavuus ja uusien oivalluksien tuottama ilo. Sitähän matematiikka on parhaimmillaan.
Matematiikka ja laskento ovat eri asia
Kuullaanpa nyt, mitä mieltä Kaisa Matomäki on matematiikan opetuksesta. Tai tarkemmin sanoen laskennosta. Koulumatematiikka ainakin peruskoulussa on hänen mukaansa enemmän laskentoa kuin varsinaista matematiikkaa oppiaineen nimestä huolimatta
Missä vaiheessa huomasit pitäväsi matematiikasta?
Vastaus: Alakouluikäisenä minulla oli selkeästi matemaattisia kiinnostuksen kohteita: Rakentelin tekniikkalegoja, elektroniikkasarjoja ja palapelejä, pelasin shakkia, ohjelmoin ja pidin erilaisista pulmatehtävistä. Matematiikka itsessään oli koulussa helppoa, isoveljen tehtävät olivat mielenkiintoisempia. Kuudennen luokan opettaja antoi mielenkiintoisia lisätehtäviä.
Suomessa ja muuallakin on haasteita saada lapset ja nuoret kiinnostumaan matematiikasta ja luonnontieteistä. Miten matematiikasta saataisiin kiinnostavaa?
Vastaus: Olisi hienoa, jos kaikki oppilaat voisivat saada oivaltamisen elämyksiä. Kiinnostus ja motivaatio täytyisi saada herätettyä, kun lapsen luontainen uteliaisuus on vielä tallella, eli erityisesti ennen yläkouluvuosia. Käytännössä tämä kaikki on tietysti helpommin sanottu kuin tehty.
Sinulla on kolme lasta (syntymävuodet 2012, 2016, 2018), jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta. Olisiko mielestäsi järkevää ottaa esille matemaattisia asioita jo varhaiskasvatuksessa tai kodeissa ja jos niin miten se tehtäisiin?
Vastaus: Käsittääkseni varhaiskasvatuksessa jo on hahmottamis- yms. tehtäviä. Mielestäni matematiikkaa voi arjen ohessa tuoda esiin lasten kiinnostuksen mukaan, mutta mitään paineita en tästä lähtisi ottamaan. Itse saatan välillä vaikka iltapalapöydässä kysellä lapsilta vuorotellen sopivan tasoisia lasku- tai päättelytehtäviä – tarkoituksenani tosin ei ole niinkään opettaa matematiikkaa, vaan pikemminkin saada lapset hiukan rauhoittumaan!
Jos sinulla olisi valta muuttaa kolme asiaa nykyisessä matematiikan kouluopetuksessa tai opetussuunnitelmissa, mitkä ne olisivat?
Vastaus: En tunne kovin hyvin kouluopetusta tai opetussuunnitelmaa. Mielestäni on erittäin positiivista, että jo ekaluokalta lähtien matematiikan kirjoissa on ihan mukavasti esimerkiksi päättelytehtäviä.
Mitkä näet suurimpina esteinä siihen, että nuoret eivät koe matematiikkaa hauskana tai kiinnostavana?
Vastaus: Vaikea sanoa. Toisaalta en tiedä, onko tämä mitenkään varsinaisesti matematiikan ongelma. Yleisesti ottaen nuoruusiässä motivaatio useimpia kouluaineita kohtaan voi olla matalalla.
Lasten ja nuorten osaamiserot matematiikassa ovat yhdeksäsluokkalaisilla varsin suuria. Näkyykö eroja vielä yliopisto-opiskelijoiden keskuudessa? Haluaisitko muuttaa jotain matematiikan opinnoissa yliopistotasolla?
Vastaus: Myös yliopistossa tasoerot ovat suuria. Lisäksi opiskelijoiden motivaatiossa on paljon eroa. Olisi mukava, jos kaikki opiskelijat tulisivat avoimin mielin ja opinhaluisina yliopistolle. Osa opiskelijoista ehkä haluaisi oikeasti opiskella jotain muuta kuin matematiikkaa, osalle taas hyppy lukiomatematiikasta yliopistomatematiikkaan voi tuntua suurelta, vaikka sitä pyritäänkin pehmentämään.
Mitkä asiat erityisesti sinua kiehtovat matematiikassa?
Vastaus: Alkulukujen tutkiminen on minusta mukavaa – niihin liittyviä ongelmia on suhteellisen helppo esittää, mutta vaikea todistaa, ja tutkimuksessa käytetään hyväksi monia syvällisiä matematiikan työkaluja. Esimerkki avoimesta ongelmasta on niin sanottu alkulukukaksoskonjektuuri, jonka mukaan on äärettömästi sellaisia alkulukuja p, että myös p+2 on alkuluku. Kukaan ei osaa tätä todistaa.
Digitaalisuus on osa meidän kaikkien elämää, halusimmepa tai emme. Millaisena näet digitaalisuuden roolin matematiikan opiskelussa eri kouluasteilla?
Vastaus: Minusta on tärkeää, että matematiikkaa opiskellaan edelleen myös kynällä ja paperilla (tai miksei yhtä lailla tabletilla ja siihen yhdistetyllä kynällä). Loogisen ajattelun ja päättelyn oppiminen on mielestäni erittäin tärkeää. Aika harvassa työssä loppuen lopuksi tarvitsee esimerkiksi osata tuottaa matemaattisia kaavoja digilaitteella, sen sijaan loogisesta ajattelusta ja perusmatematiikan hallinnasta on apua niin työ- kuin yksityiselämässäkin.
Ylioppilastutkinto kirjoitetaan nykyään kokonaan tietokoneella. Näetkö siinä matematiikan osalta erityisiä etuja, haittoja tai parannettavaa?
Vastaus: Tähän liittyen huolenaiheeni on lähinnä, että lukio-opiskelussa kaavaeditorin ja muiden työkalujen käyttö syö aikaa itse matematiikan opiskelemiselta.
Voiko tekoäly jossain vaiheessa syrjäyttää matemaatikot ammattikuntana? Onko tekoäly uhka vai mahdollisuus?
Vastaus: Uskoisin että tekoäly voi tulevaisuudessa auttaa monissa matemaattisissa tehtävissä, mutta en usko, että se tulee kokonaan syrjäyttämään matemaatikoita. Uskoakseni tekoäly on hyvä renki mutta huono isäntä.
Minkä kirjan luit viimeksi?
Vastaus: Lähinnä tällä hetkellä luen lapsille lastenkirjoja, tosin sekin on vähentynyt, kun lapset osaavat itsekin lukea. Kun alan itse lukea kiinnostavaa kirjaa, minun on todella vaikea keskeyttää sitä ja siksi en uskalla oikein aloittaakaan, kun arjessa on hyvin rajallisesti aikaa. Viimeksi taisin lukea romaanin Yöllisen koiran merkillinen tapaus. Sen päähenkilö ihan sattumalta pitää alkuluvuista.
Mitä mieltä olet tasoryhmistä, erityislahjakkaiden omista kouluista tai eriyttämisestä tavallisessa koulussa?
Vastaus: Mielestäni on hyvä, jos peruskoulussa eriyttämistä pystytään tekemään molempiin suuntiin. Tämä on nähdäkseni paljon tärkeämpää motivaation säilyttämisen kannalta kuin sen kannalta, että nopeammat oppijat ehtisivät oppia enemmän. Yläkoulu- ja lukiovaiheessa matematiikkaluokka tai muu vastaava voi olla sellaiselle pääsevien oppilaiden kannalta lottovoitto. Lisämatematiikka tietysti on plussaa, mutta ennen kaikkea ilmapiiri ja samanhenkinen seura voivat helpottaa koulutaivalta huomattavasti ja säilyttää motivaation matemaattisia jatko-opintoja kohtaan. Itsekin sain Päivölän opiston matematiikkalinjalta monia kavereita, joista osaan olen edelleen yhteydessä.
Torilla tavataan
Kaisa Matomäki on nuoresta iästään huolimatta saanut useita kansallisia ja kansainvälisiä palkintoja tutkimuksistaan alkulukujen parissa. Tällaisia ovat esimerkiksi
2016 Sastra Ramanujan palkinto
2016 Akatemiapalkinto
2016 Väisälän palkinto
2019 New Horizons -palkinto
2020 EMS (European Mathematical Society) – palkinto
2021 Ruth Lyttle Satter Prize -palkinto
2022 Cole Prize in Number Theory -palkinto
Oletettavaa on, että palkintoja tulee ajan mittaan lisääkin, koska Kaisa Matomäki haluaa edelleen löytää ratkaisuja kiinnostaviin matemaattisiin ongelmiin. Ja niitähän riittää.
Milloin mahdamme nähdä tilanteen, jossa torilla kokoonnutaan juhlimaan Kaisa Matomäen uutta onnistumista matematiikan saralla? Meiltä puuttuu edelleen tieteen puolelta tällaisia esikuvia, Kaisa Matomäen esimerkin innostamana heitä toivottavasti tulee lisääkin.
Aiheesta lisää
Aamuset (13.11.2020): Akatemiatutkija Kaisa Matomäelle arvostettu matematiikan Satter Prize -palkinto https://aamuset.fi/artikkeli/5133012
Dimensio (8.3.2019): Haastattelu: Kaisa Matomäki
Dimensio (2.5.2023): Alkuluvuista ja jaollisuudesta
Finska Vetenskaps-Societeten / Suomen Tiedeseura: Akatemiatutkija Kaisa Matomäki (18.3.2021): “Alkuluvuista” (video) https://www.youtube.com/watch?v=70rlUqlcWkI
HS (2.6.2019): Kaisa Matomäki teki vallankumouksellisen matemaattisen löydön luvuista, joita on tutkittu jo antiikin Kreikassa https://www.hs.fi/tiede/art-2000005990565.html
Kasvi, Jyrki (18.2.2019): Kuha on matikkaa. https://puheenvuoro.uusisuomi.fi/jyrkikasvi/269841-kuha-on-matikkaa/
Maaseudun tulevaisuus (23.4.2023): Peltomaisemassa viihtyvän huippumatemaatikon innostuksen sytytti opettaja, joka antoi tehdä oppikirjaa omaan tahtiin https://www.maaseuduntulevaisuus.fi/aihe/kaisa-matomaki
Tiedetuubi (27.11.2016): Kaisa Matomäki ja omituisten alkulukujen salaisuus https://tiedetuubi.fi/video-kaisa-matomaki-ja-omituisten-alkulukujen-salaisuus
TS (10.10.2016): Turun yliopiston akatemiatutkija palkittiin työstään alkulukujen parissa https://www.ts.fi/uutiset/2956366
Turun yliopisto: Kaisa Matomäki (henkilöportaali) https://www.utu.fi/fi/ihmiset/kaisa-matomaki
Turun yliopisto (17.11.2022): Akatemiatutkija Kaisa Matomäelle arvostettu matematiikan Cole Prize in Number Theory -palkinto https://www.utu.fi/fi/ajankohtaista/mediatiedote/akatemiatutkija-kaisa-matomaelle-arvostettu-matematiikan-cole-prize-in
Uusi Tie (29.6.2022): Kaisa Matomäki, Markku Kulmala ja Petri Väisänen ovat kristittyjä tieteentekijöitä – miten uskonto ja tiede sopivat yhteen? https://uusitie.com/uskonto-ja-tiede/
