Klassiset matemaattiset taikatemput, osa 4: Yksi tonttu vähemmän
Seuraavat muuttuvat kuvat toimivat taikatemppuja (Tonttu hävisi!) tai arvoituksena (minne ja miten tonttu häviää?)
Yksi tonttu vähemmän
Minulla on ollut tapana jo viitenä vuotena julkaista Facebookissa Viiriäisiä ja suklaakarkkeja Facebook-ryhmässäni paradoksikuvia joulutontuista. Kuvissa on aina sama idea: kuudesta tontusta tulee esimerkiksi viisi tonttua, kun kuvan alaosaa siirretään vasemmalta oikealle. Ensimmäisen tonttukuvion tein joulukuussa 2018. Suklaakarkkeja Sammosta -kirjassani (MFKA-Kustannus, 2019) on kappale nimeltään Pinta-aloja ja muita paradokseja. Sivulla 64 on kuva kuudesta klovnin naamasta. Jos kuva leikataan vaakatasossa ja alempi osa siirretään klovnin verran oikealla, saadaan kuva, jossa on van viisi klovnin naamaa ja yksi klovnin hattu. Samalla sivulla on noin tulitikkuaskin kokoisena sama idea tehtynä tonttujen naamoilla.
Koska kirjan kuva oli hyvin pienenä, eikä kahtena kuvana, josta näkisi ilman askartelua, miten kuvio muuttuu yläosaa liikuttamalla, julkaisen tonttukuvan (tonttukuvat) joulukuun ja lähestyvän joulun iloksi. Alla olevassa kuvassa on kuusi tonttua.
Tulosta kuva ja leikkaa se vaakasuunnassa olevaa viivaa myöten. Siirrä kuvan alaosaa oikealle yhden tontun verran. Saat tämän näköisen kuvan: Tonttuja, siis tontun naamoja on enää viisi. Vasemmalle jäi yksi tyhjä tonttulakki!
Selityksiä
Katsotaan vieläkin yksinkertaisempaa kuviota. Laatikkoon on piirretty 10 pystyviivaa. Laatikkokuvio leikataan vinosti halki ja leikatun kuvion yläosaa liu’utetaan yhden viivan verran oikealle.
Kehys menee vinoon, mutta kiintoisaa on viivojen määrä kehyksessä. Nyt niitä on enää yhdeksän. Jos kuviota katsoo tarkemmin, huomaamme, että jokainen yhdeksän viivaa ovat hiukan pidempiä kuin ne viivat, joita on kymmenen. Viivojen yhteispituus pysyy samana, vaikka viivojen lukumäärä muuttuu.
Sama asia tapahtuu tonttujen naamoissa. Ylemmässä ja alemassa tonttukuvassa on molemmissa saman pinta-alan verran tonttuja ja tonttulakkeja. Naamat on suunniteltu niin, että ensimmäisen kuvan kuudesta tonttunaamasta syntyy alakuvassa viisi tonttunaamaa. Kuvat eivät kestä joka kohdassa kovin tarkkaa tarkastelua. Tällaisen tekeminen on tarkempaa puuhaa kuin pelkkien viivojen yhdistäminen.
Samanlainen kuvaparadoksi voidaan tehdä myös ympyrämuotoon. Tällöin kuvat ulkokehää kääntämällä klovnien tai tonttujen määrä vaihtuu.
Seuraava tontturinki on Facebook-sivullani joulukuulta 2022:
Tontut pystyttävät joulukuusta
Kolmetoista tonttua on työn touhussa. Joulukuusi pitää saada kuntoon. Kuusen alaosa on kallellaan ja se pitää nostaa paikoilleen.
Tontut nostavat alaosan pystyyn. Samalla huomataan, mistä ongelmat johtuivat. Ensimmäisessä kuvassa on neljätoista tonttua. Joukkoon oli hiipinyt yksi ylimääräinen tonttu! Se häiritsee työn tekoa.
Kun joulukuusi nostetaan paikoilleen, tonttuja on taas turvalliset kolmetoista ja ylimääräinen tonttu on lähtenyt pois. Mutta minne neljästoista tonttu hävisi? Eihän se voi paperista kadota?
Rengasta ei kannata kääntää pidemmälle. Jos käännät sisärengasta vielä yhden tontun verran vasemmalle, kuvassa on enää kaksitoista tonttua, mutta myös epäloogisia paloja tontuista.
Kuvat voi tehdä niin, että tonttujen määrä voi sisärengasta pyörittämällä pudota pienemmäksi kuin kolmetoista tonttua niin, ettei renkaaseen jää ylimääräisiä tonttujen osia. Tällainen kuvio vaatii tarkempaa suunnittelua ja piirtämistä.
Selityksiä
Aivan samalla tavalla kuin viiden/kuuden tontun kuvissa, tonttujen pinta-alamäärä ei muutu, vaikka kuviot muodostavatkin kahdessa kuvassa erilaisen määrän tonttuja. Pinta-alojen kannalta mikään ei katoa. Tontut pystyttävät joulukuusta on versio Sam Loydin 1896 julkaisemasta Get of the Earth pulmasta. Loyd piirsi kiinalaisia, minä tonttuja. Sam Loydin idean historiasta voit lukea tuosta alempaa.
Käyttöohje
Tulostettava tonttuympyrä (pdf)
Printtaa jompikumpi tonttuympyröistä kahteen kertaan. 250 gramman paperi on jo riittävän paksua ja käy vielä tavalliseen printteriin. Leikkaa toisesta kuvasta sisäympyrä erikseen. Kiinnitä se askartelukaupasta ostamallasi haaranastalla, niin kutsutulla haaraniitillä, toisen kuvan päälle, uudeksi sisäympyräksi. Nyt voit pyörittää haaranastalla kiinnittämääsi sisäympyrää ja voit testata tempun toimivuutta.
Historiaa
Get off the Earth on siis julkaistu vuonna 1896 ja se on Sam Loydin ehkä kuuluisin pulma. Kiekkopulma julkaistiin Daily Eagle -lehdessä, mutta sitä myös valmistettiin myyntiin. Pahville painettuja pulmia myytiin yli 10 miljoonaa. Myynnillä tuettiin myös vuoden 1897 republikaanien William McKinleyn presidentinvaalikampanjaa.
Loyd kysyi Brooklynin Daily Eagle-lehden sunnuntain pulmapalstallaan lukijoilta Get off the Earth -pulman ratkaisua. Ehdotuksia tuli tuhannen kirjeen verran, toinen toistaan uskomattomampia selityksiä. Loyd lupasi erilaisia palkintoja sille tai niille, jotka osaavat pulman järkevästi selittää. Ilmeisesti palkintoja ei tarvinnut koskaan kenellekään jakaa.
Loyd teki Get off the Earth -pulmasta useita versioita. Vuonna 1909 Loyd suunnitteli kuva-arvoituksen, jossa Theodere Roosevelt on leijonajahdissa. Kuvan ulkokehällä on seitsemän leijonaa ja sisäkehällä seitsemän afrikkalaista. Kun ulkokehää kääntää yhden hahmon verran myötäpäivään, leijonien määrä nousee kahdeksaan ja afrikkalaisten määrä laskee kuuteen. Kovin tarkkaa tarkastelua ei leijonanmetsästyskuva siedä!
1800-luvun lopussa tai 1900-luvun alussa nuo kuva-aiheet eivät ilmeisesti aiheuttaneet närkästystä. Tänään niitä ei voisi käyttää. Vaikka pulma on edelleen kiehtova ja mystinen, kuva-aiheet kannattaa miettiä tälle päivälle uusiksi. Joulujen seutuvilla olen julkaissut kuvia katoavista tontuista ja vuosi sitten katoavista joulukuusista. Suklaakarkkeja Sammosta kirjassani (MFKA 2019) sivulla 65 leikin katoavilla klovneilla. Ne ovat olleet ainakin toistaiseksi ihan turvallisia kuva-aiheita.
Mikäli onnistut tekemään itse tai oppilaittesi kanssa kiintoisan version näistä ideoista, niin laita piirustuksesi myös minulle!
Kirjoittaja
Martti Sirén on hämeenlinnalainen taikuri, tietokirjailija, työpajakouluttaja, taikuuden historian penkoja, tarinoiden kertoja, myös joulutonttutarinoiden kertoja. Sirén on kirjoittanut neljä kirjaa matemaattisista taikatempuista ja pitänyt matemaattisten taikatemppujen työpajoja opettajille yli viidentoista vuoden ajan.
Edellinen taikuriartikkeli: Klassiset matemaattiset taikatemput, osa 3: Salama-arviointi (9.11.2023)
Tilaa Dimension uutiskirje – saat sähköpostiisi aina kuunvaihteessa koosteen tuoreimmista artikkeleista
