Käsitteellinen ymmärrys koulumatematiikan muutoksessa
Koulumatematiikan opetuksessa tulisi korostua käsitteellisen ymmärryksen rakentaminen. Myös teknologia tarjoaa tähän mahdollisuuksia, joskin niiden havaitseminen voi vaatia uuden tyyppistä asiantilan tarkastelua.
Koulumatematiikan kaksi puolta
Matemaattisen tiedon konseptuaalisen ja proseduraalisen olemuksen tarkastelu on käyttökelpoinen menetelmä matematiikan opetuksen suunnittelussa ja tutkimuksessa. Haapasalo (2013) määrittää konseptuaalisen (myöhemmin tässä artikkelissa käsitteellisen) tiedon semanttisena tietoverkkona, jonka solmujen ja linkkien tulkitsemiseen yksilö kykenee osallistumaan tiedostaen ja ymmärtäen toimintansa perusteet ja logiikan. Vastaavasti proseduraalinen (myöhemmin menetelmällinen) tieto on menetelmiin liittyvää tietoa symbolijärjestelmistä ja algoritmeista, sekä dynaamista ja tarkoituksenmukaista sääntöjen, menetelmien tai algoritmien eli toimintakaavojen suorittamista käyttäen hyväksi tiettyjä esitystapoja. Kansainvälinen matematiikan opetuksen tutkimus kritisoi opetuksen nykytilaa (ks. Lehtonen 2022, s. 22–28). Opetuksessa korostetaan liiaksi menetelmien hallintaa ja laskennallisia valmiuksia. Tutkimusten mukaan opetuksessa tulisi korostaa enemmän käsitteellistä tietoa ja sen ymmärtämistä, sillä näin menetellen oppijalle muodostuu parempaa matemaattista osaamista. On osoitettu, että laskentamenetelmän hallinta ilman sen taustalla olevaa käsitteellistä ymmärrystä ei tuota pysyvää eikä kovin varmaa osaamista asiasta. Käsitteellisen tiedon merkitys on huomioitu yleisesti eri maiden opetussuunnitelmissa. Esimerkiksi National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2014) julkaisi laadukkaan matematiikan opetuksen periaatteet, joista keskeisin kuuluu: Rakenna menetelmällinen sujuvuus käsitteelliselle ymmärrykselle.
Työskennellessä luokanopettajaopiskelijoiden kanssa törmään tilanteisiin, joissa opiskelija keskittyy matematiikan oppitunnin suunnittelussa siihen, että tietyt tehtävät tulevat oppitunnilla tehtyä, mieluusti vieläpä tietyssä järjestyksessä. Tehtävien tekeminen on olennaista ja tarvittava käsitteellinen ymmärrys saavutetaan joko opettajan esittävästä opetuksesta tai vaikkapa videotallennetta katsomalla. Oppitunnin aikataulutuksessa käsitteellisen tiedon tarkastelulle jätetään varsin vähän aikaa. Samalla opiskelijan mielestä matematiikan opettaminen on erilaista muihin oppiaineisiin verrattuna, koska tunnit ovat pääasiassa laskujen laskemista. Keskusteluissa syyksi on aina paljastunut se, millaisena matematiikka on näyttäytynyt opiskelijan omina kouluvuosina. Käsitteellisen tiedon merkityksen ymmärtämiseen riittää opiskelijalle usein se, että laaditaan tarkastelussa olevista käsitteistä vaikkapa Alias-peli, jonka jälkeen matematiikan opettaminen ei tunnu enää niin erilaiselta muihin oppiaineisiin verrattuna, vaikka siellä edelleen lasketaankin. Tästä huomiosta on iskostunut itselleni myös ajatus siitä, että investoiminen käsitteellisen tiedon hallintaan auttaa myös opetusmenetelmien suhteen siinä, että erilaiset yhteisölliset toimintatavat tulevat varsin luonnolliseksi osaksi oppituntia. Näin myös yksilön oman menetelmällisen sujuvuuden harjoittelu tuottaa osaltaan vaihtelua matematiikan opiskeluun.
Korostuva käsitteellinen tieto
Muistan, kuinka professori Tuomas Sorvali piti vuosituhannen vaihteessa esitelmän koulumatematiikan ja yliopistomatematiikan välisistä eroista. Hän siteerasi Kalevalassa esitettyä metaforaa tiedon synnystä puuna, joka siemenestä kasvaen on haarautunut useaksi oksastoksi. Yksi näistä oksastoista on matematiikka ja koulumatematiikka yksi sen osa. Sorvalin mukaan peruskoulun matematiikka erkaantui omaksi oksakseen jo Eukleideen aikaan, ja lukionkin jo 1800-luvulla. Ajan myötä oksat ovat kasvaneet kauemmaksi toisistaan ja vuosituhannen alussa koulumatematiikka voitiinkin nähdä olevan hyvin kaukana matematiikasta, jota yliopistossa harjoitetaan. Näin kaksikymmentä vuotta myöhemmin yliopistomatematiikan opetuksen kehittämistutkimusta tehdessäni olen palannut useasti pohtimaan asian nykytilaa. Onko oksia leikattu tai muutoin niiden kasvusuuntaan vaikutettu?
Koulumatematiikkaa niin peruskoulu- kuin lukiotasolla on muuttunut paljon tällä vuosituhannella. Sitä on muuttanut yhtäältä niin opetussuunnitelmien ohjaus kohden oppilaskeskeisempiä opetus- ja arviointimenetelmiä kuin yhteiskunnalliset tarpeet ja matematiikan opiskeluun rantautunut opetusteknologia. Kaikki nämä muutokset ovat korostaneet, osaksi juuri tarkoitusperäisesti, käsitteellisen tiedon ja tiedon hallinnan merkitystä matematiikan oppijalle. Kettunen (2021) tutki lukiomatematiikan ensimmäisen kurssin oppikirjoja kolmen viimeisen opetussuunnitelman ajalta ja löysi kehityssuunnan, jossa erityisesti luovuutta vaativien tehtävien kohdalla painotus on muuttunut vuoden 2003 opetussuunnitelman menetelmällistä tietoa painottavista tehtävistä vuoden 2019 opetussuunnitelman mukaisessa oppikirjassa käsitteellistä tietoa painottaviin tehtäviin. Käsitteellinen tieto korostuu prosessin aikaisessa arvioinnissa, joka korostaa oppilaan omaa käsitystä oppimisen edistymisestä ohjaten oppilasta löytämään itselleen soveltuvimpia menetelmiä matematiikan opiskeluun niin tiedon esitysmuotojen kuin ongelmanratkaisuheuristiikkojen suhteen. Opetusmenetelmissä kannustetaan yhteisölliseen tiedon muodostamiseen, jolloin vuorovaikutustilanne mahdollistaa käsitteellisen tiedon varaan rakentuvia merkitysneuvotteluja.
Myös teknologian käyttö vapauttaa oppijan aikaa algoritmien suorittamisesta ja mahdollistaa näin käsitteellistä ja soveltavampaa matematiikan opiskelua. Esimerkkinä tästä tilastomatematiikka, jota kehittyneen teknologian avulla voidaan tehdä suuremmilla aineistoilla ja päästä näin ilmiöiden tarkastelussa tilastomatematiikan soveltamiseen päätöksenteossa. Tässä tilastomatematiikan painottumisessa näyttäytyy osaltaan myös matematiikkaan kohdistuvat yhteiskunnalliset tarpeet, sillä tilastomatematiikkaan pohjautuvan päätöksenteon merkityksen ymmärtäminen on korostuva taito koneoppimista hyödyntävässä yhteiskunnassa. Myös ohjelmoinnin tuominen integroidusti koulumatematiikkaan on pitkälti yhteiskunnallisista tarpeista lähtenyt muutos. Käsitteellisen tiedon merkitys on korostunut, mutta on kuitenkin muistettava, että teknologia tai opetusmenetelmä itsessään ei tuota käsitteellisen tiedon tarkastelua, vaan se on huomioitava systemaattisesti opetusta suunniteltaessa.
Koska käsitteellisen tiedon hallinta on yliopistomatematiikassa keskeistä, niin voitaisiin ajatella, että kuilu koulu- ja yliopistomatematiikan välillä olisi pienentynyt käsitteellisen tiedon korostuessa koulumatematiikassa. Kuitenkin jos lukiomatematiikassa käsitteellisen tiedon lisääntyminen on tapahtunut teknologiapohjaisesti, tapahtuu tiedon tarkastelu puhtaasti kynän ja paperin avulla ainakin tutkimukseni kohteena olevalla reaalianalyysin kurssilla. Myönnän kyllä, että en tiedä menetelmiä siihen, miten lukiossa käytettyjä laskinohjelmistoja voitaisiin hyödyntää erilaisissa lauseen todistamistehtävissä. Vielä kun samaan aikaan edeltävistä lukion opetussuunnitelmista esimerkiksi geometriasta poistuivat todistamistehtävät, voisi ajatella myös siten, että oksistojen erilleen kasvu on jatkunut. Onneksi tilanne voi parantua, sillä uudessa lukion opetussuunnitelmassa 2019 matemaattinen todistaminen saa selvemmin osoitettua jalansijaa.
Voisiko koulumatematiikka kehittyä kuten tietokone?
Harvassa ovat varmaan ne, jotka ajattelevat, että matematiikan opettamiseen ja oppimiseen kohdistuvat muutokset olisivat nyt saatu päätökseen. Leikittelen seuraavassa ajatuksella, jonka sain tehdessäni digitutoropettajahaastattelua 2019, jossa kokenut opettaja pohti sitä, miten hän kokee koulumaailman suhteen tietokoneisiin ja muihin digitaalisiin härpäkkeisiin muuttuneen hänen yli 30-vuotisen opettajauransa aikana.
”Kun tietokoneet rantautuivat peruskouluihin siinä 80-luvun puolivälin jälkeen, ne olivat ihmeellisiä laitteita, jotka sijaitsivat ensin yksinään jossain omassa huoneessaan. Konetta käytiin oppilaitten kanssa hämmästelemässä ja tutustuttiin sen osien nimiin, kuten, hiiri, keskusyksikkö, monitori. Varsinaisesti alkujaan ei vielä oikein tiedetty mihin sitä konetta voitaisiin käyttää koulussa, mutta ajatuksena oli, että varmaan johonkin hyvin tärkeään! Sillä koneita käytettiin jo helpottamassa arkea työelämän eri toimialoilla… Myöhemmin sitten saapuivat tekstinkäsittely ja taulukkolaskenta, joita alettiin tekemään koneella. Nykyään tämä tietokone nähdään monelta osin hyvänä työvälineenä ja osin myös oppimista palvelevana” (Kokenut digitutoropettaja Suomussalmella, 2019)
Tuomalla tämä ajattelu tähän päivään, niin opetusteknologiasta esimerkiksi 3D-tulostimet ja VR-lasit tuntuvat olevan varsin vastaavassa roolissa koulumaailmassa mitä tietokoneet 80-luvulla. Niitä alkaa kouluissa olla, niiden hyödyt on yhteiskunnassa jo varsin laajasti tunnustetut, mutta oppiaineista katsoen niiden soveltaminen tuntuu vielä hankalalta ja oppiaineen oppimisen kannalta ne voidaan nähdä varsin vähän hyödyttävinä. Jos aikaisempi teknologia rantautumisen malli pitää paikkansa, niin esimerkiksi VR-lasit voisivat olla ihan yleisesti matematiikan oppitunneilla väline, joka helpottaisi matematiikan opiskelua ja mahdollistaisi taas monipuolisemman lähestymisen matematiikan opiskeluun. Ammattikouluissahan VR:n hyödyt ovat jo jonkin aikaa olleet hyvin käytössä. Kokemuksestani voin jo sanoa, että esimerkiksi auton jarrupalojen vaihdon harjoittelu tuntuu hyvinkin luonnolliselta VR-ympäristössä toteutettuna. Toisaalta ajatellessani näitä ammattitöitä harjoittelevia opiskelijoita, mieleeni tulee, että ainakin VR:n käyttötaito olisi sellainen, joka helpottaisi heidän arkeaan. Eli siinä mielessä taitojen kehittymisen näkökulmasta tuota nykyteknologiaa koulussa olisi suotavaa käyttää, jotta koulu toteuttaisi tehtäväänsä tulevaisuuden taitojen kehittäjänä.
Entäpä jos VR-teknologian rantautuminen kouluun tapahtuukin matematiikan läpäisevästi kuten esimerkiksi CAS-teknologian kohdalla? Millaisia muutoksia tämä tuottaisi koulumatematiikan opettamiseen? Ja edelleen jos koulun ulkopuolelta tulevassa toiveessa taitojen harjoittelun tarve on korostunut, niin kävisikö esimerkiksi avaruusgeometrian opiskelussa niin, että opiskelussa korostuisikin taitoa nähdä kappaleen ominaisuuksia sisältä päin, taito kääntää ja nähdä kappale useista eri suunnista? Muuntuisiko opiskelu tietyssä mielessä konkreettisemmaksi (vaikkapa kulkemista avaruuslävistäjää pitkin), mutta toisaalta käsitteellisemmäksi (millaisin kriteerein voi tunnistaa vaikkapa lieriön olemalla pelkästään kappaleen sisällä). Alustavia tuloksia VR:n eduista on jo raportoitu esimerkiksi Helsingin yliopistosta (mm. Larionova, 2020). Vastaavasti voisiko VR mahdollistaa matematiikan havainnollistamisen tavalla, jota Darenee Lehtonen (2022) uunituoreessa väitöskirjassaan ansiokkaasti tarkastelee? Oikein ja harkiten tuotettuna teknologia tarjoaa mahdollisuuksia käsitteellisen tiedon tarkasteluun koulumatematiikassa. Ainakin tässä on matematiikan oppimisen tutkimukselle hyvä tutkimustehtävä.
Matematiikan muuttumaton ydin?
Mielenkiintoista matematiikan opetuksen parissa työskenteleville on seurata näitä muutoksia. Toisaalta koulumatematiikka on pysynyt melkoisen muuttumattomana vuosisatoja, jopa tuhansia, joten tämä mielessä pitäen mitään rajua muutosta ei olisi ennustettavissa ja jotkut osa-alueet säilyvät aina yli muutosten. Rohkenen väittää, että se matematiikan osa-alue, jossa lainalaisuudet esitetään formaaleina lauseina ja näiden lauseiden voimassaoloa tarkastellaan erilaisissa ongelmatilanteissa, on yksi muutoksen yli säilyvistä. Tosin käytettävät esitysmuodot saattavat kokea sielläkin muutoksia. Aika näyttää. Lopuksi vielä ystäväni ottama kuvan kolmesta närhestä, jossa ”ois kuin väittelijä ja vastaväittäjä ja kustos vähän pallo hukassa.”
Kirjoittaja toimii Itä-Suomen yliopistossa matematiikan pedagogiikan yliopistonlehtorina.
Lähteet
Haapasalo, L. 2013. Oppiminen, tieto ja ongelmanratkaisu. Medusa, Joensuu.
Kettunen, J. 2021. Muutokset lukion ensimmäisessä matematiikan kurssissa ja sen tehtävissä vuosina 2003 – 2021. Pro gradu -työ. Luonnontieteiden ja metsätieteiden tiedekunta, Itä-Suomen yliopisto.
Larionova, M. 2020. Kehittämistutkimus: Virtuaalitodellisuuden käyttö avaruusgeometrian opetuksessa yläasteella. Pro gradu -työ. Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, Helsingin yliopisto. https://helda.helsinki.fi/handle/10138/320302
Lehtonen, D. 2022. Now I get it: Developing a Real-World Design Solution for Understanding Equation-Solving Concepts. Kasvatustieteiden ja kulttuurin tiedekunta. Väitöskirja. Tampereen yliopisto. https://trepo.tuni.fi/handle/10024/136918
National Council of Teachers of Mathematics. (2014). Principles to actions: Ensuring mathematical success for all.
Tilaa Dimension uutiskirje – saat sähköpostiisi aina kuunvaihteessa koosteen tuoreimmista artikkeleista.
