Entä jos monikulmio leikkaa itseään
Monikulmion reuna on suljettu murtoviiva. Koulumatematiikan monikulmiot ovat yksinkertaisia, mikä tarkoittaa sitä, että sivut eivät leikkaa toisiaan. Entä jos ne leikkaisivatkin?
Yksinkertaisen monikulmion (engl. simple polygon) sisäkulmien summa on laskettavissa jakamalla kuvio kolmioiksi lävistäjillä. Kulmasumma kasvaa tunnetulla tavalla 180o:een kerrannaisin kärkien lukumäärän mukana. Pinta-ala on myös yksikäsitteinen, vaikka laskukaavoja on vain kaikkein säännöllisimmille kuvioille.
Entä jos luovutaan siitä ehdosta, että sivujanat eivät saa leikata toisiaan? Sellaiselle monikulmiolle ei ole erityisnimeä, vaan siitä käytetään selittävää ilmausta itseään leikkaava monikulmio (engl. self-intersecting tai crossing tai crossed tai complex polygon). Leikkauspisteitä voi olla yksi tai useampia (kuva 2).
Entä jos -työskentely on tietysti vain ajatusleikkiä, mutta matematiikka etenee usein juuri sillä tavalla. Niin ovat syntyneet lukujoukot, erilaiset geometriat ja topologiset T-avaruudet sekä monet muut matemaattiset oliot. Mikä estäisi oppijaakaan etenemästä oppimisessaan matemaatikon tapaan ja tutkimasta, mitä seuraa yleisesti hyväksyttyjen perusoletusten hylkäämisestä.
Vähänkään monimutkaisemmassa tapauksessa ei ole selvää, miten itseään leikkaavan monikulmion pinta-ala määritettäisiin tai mitkä kulmat ovat kuvion sisä- ja mitkä ulkokulmia. Esimerkiksi Geogebra tulkitsee joskus ulkokulmalta näyttävän kulman sisäkulmaksi (kuva 3, kaksi vasemmanpuoleista). Kulmien summa riippuu siitä, kumpi eksplementtikulmista valitaan. Samoin pinta-ala voi olla 0, vaikka kuviossa olisi sivujen rajoittamalta näyttävää sisäosaa (kuva 3, kolme oikeanpuoleista).
Geogebra laskee monikulmion pinta-alan siten, että yksinkertaisen monikulmion pinta-ala on positiivinen (kuva 4, vasen). Kun kärkipiste viedään sivun yli niin, että sivut leikkaavat toisiaan, niin syntyy osakuvioita, joista osan pinta-ala on laskennallisesti negatiivinen. Geogebra laskee positiivisten ja negatiivisten osakuvioiden ”pinta-alojen” summan ja näyttää pinta-alana summan itseisarvon (kuva 4, oikeanpuoleiset kuviot).
Itseään leikkaavissa monikulmioissa on paljon muutakin monentasoista mietittävää kuin laskemista. Jo leikkauspisteiden lukumäärän pohdiskelussa on tutkimustehtävän makua. Itseään leikkaavia nelikulmioita on vain yksi perustapaus: kaksi sivuista leikkaa yhdessä pisteessä (kuva 2, vasen). mutta itseään leikkaavia, olennaisesti erilaisia viisikulmioita on jo neljä. Keksitkö ne kaikki? Kuinka monessa pisteessä sivut leikkaavat kussakin tapauksessa?
Leikkauspisteiden määrä kasvaa kärkien lukumäärän mukana, vaikka ei kovin nopeasti niin, että vielä kuusi- ja seitsenkulmioiden erilaiset tapaukset harrastunut matemaatikonalku saattaa jaksaa piirtää. Helpoimmin se käy niin, että piirrät matematiikkaohjelmallasi yksinkertaisen kuusi- tai seitsenkulmion ja rupeat raahaamaan pisteitä niin, että sivut leikkaavatkin toisiaan.
Seuraavien monikulmioiden kohdalla kaikkien mahdollisuuksien järjestelmällinen piirtäminen on jo aika työlästä. Niiden piirtämisen asemesta voit ryhtyä etsimään itseään leikkaavaa monikulmiota, jossa on mahdollisimman suuri määrä leikkauspisteitä kullakin kärkien lukumäärä arvolla. Kuinka monta leikkauspistettä on enimmillään kahdeksan- tai yhdeksänkulmiossa? Kuinka monta leikkauspistettä on seuraavissa satunnaisesti piirretyissä kymmenkulmioissa (kuva 5)? Keksitkö kymmenkulmion, jossa olisi useampia leikkauspisteitä kuin yhdessäkään näistä?
Lisää pohdiskelun ja piirtämisen aiheita saat esimerkiksi säännöllisistä itseään leikkaavista monikulmioista eli tähtimonikulmioista. Ne voidaan piirtää niin, että ympyrän kehälle sijoitetaan n pistettä tasavälisesti ja yhdistetään ne yhdellä suljetulla murtoviivalla. Millä n:n arvoilla tämä on mahdollista? Millä n:n arvoilla tämä voidaan tehdä useammalla kuin yhdellä tavalla? Kuinka suuria ovat tähtimonikulmioiden sakarakulmat eri tapauksissa? Entä sakarakulmien summa?
Tähtimonikulmiot ovat olleet suosittuja kilpikonnagrafiikkaharjoituksia, sillä tähden piirtäminen onnistuu yhden rivin koodilla:
TOISTA :n [ETEEN 100 OIKEALLE 180 – (180 / :n)]
kun n on pariton. Tämä on hyvä harjoitus koululaiselle senkin takia, että piirtäminen kynällä paperille on ylivoimainen suunnittelumenetelmä erilaisten mahdollisuuksien pohtimisessa. Näistä kuvioista on myös helppo laskea järjestelmällisesti sivujen leikkauspisteiden määrä. Se näyttäisi olevan
$$\frac{n\left(n-3\right)}{2}$$
missä n on pariton (kuva 7, oikea). Tulos on sama kuin kuperan monikulmion lävistäjien määrä. Se panee pohtimaan, olisiko kuperan monikulmion lävistäjillä ja itseään leikkaavien tähtimonikulmioiden sivujen leikkauspisteillä jokin ei-ihan-ilmeinen yhteys.
Epäsäännöllisiä itseään leikkaavia monikulmioita on helppo piirtää kuperan monikulmion sisään (kuva 7, vasemmanpuoleiset). Joillakin n:n arvoilla piirtämiseen voidaan käyttää kaikki lävistäjät.
Itseään leikkaavat monikulmiot eivät ole olleet matematiikan opetussuunnitelmien ydinainesta ehkä sen takia, että niille ei ole olemassa yleisiä ulkoa opeteltavia laskumenetelmiä, ja siksi niiden käsittely rajoittuu lähinnä perushahmottavaan piirtämiseen ja kuvioiden perusteella tehtyihin otaksumiin. Juuri tämän takia niillä saattaisi kuitenkin olla olennaista annettavaa matematiikan oppimiselle, sillä tällainen käsittely tavallisesta koulumatematiikasta poikkeavalla tavalla tukisi käsitteellisen tiedon vahvistumista koulumatematiikassa tavanomaisesti korostuvan menetelmällisen tiedon sijasta.
Tilaa Dimension uutiskirje – saat sähköpostiisi aina kuunvaihteessa koosteen tuoreimmista artikkeleista
