Askartelua ja aivojumppaa: monitahokkaita 2

Opetus

5.6.2020

Monitahokkaan rakentaminen on helpointa ehkä tasoon levitetystä pinnasta lähtien (piirros paperille tai pahville, tehtävät 1-3 jäljempänä). Rakentamiseen on myös paljon kaupallisia rakennussarjoja: rakentelulevyjä, magneettikiinnitteisiä sauvoja jne. Eniten vapauksia rakenteluun antavat yksikertaiset materiaalit kuten esimerkiksi hammastikut, joiden liittämiseen voidaan käyttää pihlajanmarjoja, sinitarrapallukoita, vaahtokarkkeja tai lakritsinpaloja.

Tehtävä 1: kuution tasolevitykset

Kuusi neliötä voidaan sijoittaa tasolle 35 eri tavalla niin, että jokainen neliö liittyy ainakin yhteen muuhun neliöön vähintään yhdestä sivustaan, jos peilikuvia ei pidetä erilaisina. Näistä ”kuusneliöistä” (engl. hexomino) kuitenkin vain 11 on sellaisia, että ne voidaan taivuttaa kuutioksi. Geogebra tekee tasolevityksen vain yhdellä tavalla. Etsi muut tasolevitykset (engl. net) ja taivuttele kuutioksi. Liimausvarojen paikkojen miettiminen tuo tehtävään lisähaastetta.

Tehtävä 2: kartion tasolevitys

Suorien särmäkartioiden eli pyramidien tasolevitykset ovat tähtiä, joiden sakarat ovat tasakylkisiä kolmioita. Kuinka pitkä sivutahkokolmion korkeusjanan pitää vähintään olla? Tässä on erään kolmisivuisen kartion tasoon levittämisen vaiheita.

Millaisia kartioita alla olevista tasolevityksistä tulisi? Huomaa yksi kompa.

Piirrä särmäkartioiden (pyramidien) tasolevityksiä, leikkaa irti ja taivuta kartioiksi. Muista liimausvarat. Kuinka pitkä sivutahkokolmion korkeusjanan pitää vähintään olla neliöpohjaisessa kartiossa?

Tehtävä 3: rakenna antiprismoja.

Suurenna tasolevitykset tulostaessasi ja jätä liimausvarat leikatessasi. Dynaaminen matletti antiprismojen tasolevityksistä on osoitteessa https://www.geogebra.org/m/syrddurz.

Tehtävä 4: Desarguesin kartio

Avaruudessa on äärettömän monta kolmiota, jotka näyttävät samalta yhdestä pisteestä katsottuna. Ne voivat olla myös erisuuntaisissa tasoissa. Kaikki näyttävät samanlaisilta kuin kuvitellun kartion kuviteltu pohja. Tämä on esimerkiksi tähtikuvioiden muodostumisen idea taivaanpallolla.

Jos valitset tason suunnan ensiksi, niin käytännössä ei ole ihan helppoa löytää kartion sisään sopivan kolmion muotoa. On helpompaa valita ensin kärkikulma, liimata kolmioaihio paikoilleen sopivaan asentoon ja leikata lopuksi ylimääräinen, kartion ulkopuolelle tuleva osa pois.

Desarguesin lauseen mukaan kartion sisällä olevien kahden kolmion sivujen jatkeet leikkaavat samalla suoralla. Miten voisit tutkia tätä mallikartiosi avulla?

Tehtävä 5: typistetyt (engl. truncated) monitahokkat

Monitahokkaan typistäminen eli kärkien leikkaaminen tuottaa uusia monitahokkaita. Niistä saa monenlaisia rakentelu- ja pohdiskelutehtäviä sekä laskuja, esimerkiksi kuinka monta sivutahkoa on mahdollisimman paljon typistetyssä kuutiossa (oikeanpuolimmainen kuva), kuinka monta eripituista avaruuslävistäjää siinä on, kuinka suuria ovat sen tilavuus ja pinta-ala kuutioon verrattuina. Katso Guillermo Bautistan matletteja https://www.geogebra.org/m/wk3rgux9 ja https://www.geogebra.org/m/ptmg8n9p.

Tehtävä 6: kolmiulotteisia tähtiä

Tähtiä tarkastellaan usein vain kaksiulotteisina kuvioina. Kolmiulotteiset tähdet ovat niin harvinaisia, että niillä ei kaikilla ole edes suomenkielisiä nimiä. Niinpä tämäkin tähti tunnetaan nimellä stella octangula, jonka Kepler antoi sille jo 300 vuotta sitten. Kuvion rakenteen voi mieltää monella tavalla. Sen voi nähdä koostuvan kahdesta vastakkain ja osittain sisäkkäin sijoitetusta tetraedrista. Toinen mahdollisuus on säännöllinen oktaedri, jonka jokaiselle sivutahkolle on liitetty tetraedri. Tai niin että sakarat syntyvät, kun oktaedrin sivutahkoja jatketaan särmien ulkopuolelle, mikä näkyy sopivasta suunnasta katsottuna (oikeanpuolimmaisessa kuvassa). Tällä tekniikalla (engl. stellation) saat tähtiä kaikista kuperista monitahokkaista suuntaissärmiöitä lukuunottamatta. Stella octangulan tasolevitys on saatavissa verkosta monelta sivustolta, esimerkiksi https://www.polyhedra.net/en/model.php?name-en=stella-octangula.