Voivatko vain asiantuntijat ymmärtää matematiikkaa?

Matematiikka on tärkeää ja se vaikuttaa elämäämme monin tavoin. Tavallisen ihmisen matematiikkakuva perustuu valtaosaltaan kouluopetukseen. Se kuva ei aina ole innostava eikä rohkaise tutustumaan itsenäisesti matematiikan tuloksiin ja käyttötapoihin. Matemaatikoilla on siksi suuri vastuu kertoa töistään ymmärrettävästi myös tiedeyhteisön ulkopuolisille.

Lars Ahlforsista kirjoittamassaan elämäkerrassa [1] Olli Lehto kysyy, ”voiko kansainväliseen huippuun kuuluva suomalainen tiedemies olla suurelle yleisölle tuntematon”. Myöntävää vastausta hän perustelee muun muassa median innostuksen puutteella. Se johtuu hänen mielestään siitä, että matemaatikkojen aikaansaannokset ”ovat ymmärrettäviä vain asiantuntijoille”. Aika elitistisesti sanottu. Ja on saattanut olla tottakin Lehdon oman sukupolven tai sitä aikaisempien sukupolvien maallikoista puhuttaessa. Nuorempien polvien sivistystaso ja siten vastaanottokyky ovat kuitenkin olennaisesti paremmat myös matemaattisten aineiden osalta.

Vanhastaan matemaatikkomme eivät ole ehkä pitäneet matematiikan kansantajuistamista tärkeänä eivätkä siksi ole olleet halukkaita kertomaan työstään ja tuloksistaan kaikelle kansalle. Paljon on kuitenkin tehtävissä, jos vain halua on. Muilla kielillä tilanne ei ole yhtä huono. Niinkin vaikeista aiheista kuin esimerkiksi Riemanin hypoteesista [2],  [3] ja Poincarén otaksumasta [4] on kirjoitettu hyviä yleistajuisia kirjoja. Eikä aina tarvitse olla kyse kirjan kokoisesta julkaisusta, vaan matemaattisia yksityiskohtia voisi yrittää selittää pienemmissäkin matematiikan käyttöä kuvaavissa teksteissä.

Kompleksianalyysi

Ensimmäinen työ, jolla Ahlfors alkoi saada kansainvälistä tunnettuutta, oli Denjoyn hypoteesin todistaminen. Myöhemmin Ahlfors itse väheksyi tätä aikaansaannostaan, mutta ensimmäisessä saavutuksessa on aina jotain erityisen kiehtovaa, kuin ensisuudelmassa. Asian Lehto kuittaa elämäkerrassa sanomalla, että se käsittelee ”tunnetun kokonaisen funktion asymptoottisia arvoja”. Muutama lause lisää, niin kirjan anti olisi ollut olennaisesti suurempi. Se olisi tukenut kirjan perimmäistä tarkoitustakin, josta tekijä sanoo, että ”kirjaa ei ole kirjoitettu pelkästään tiedeyhteisöön kuuluville, vaan keille tahansa tieteestä tai tieteenharjoittajista kiinnostuneille lukijoille”.

Abstraktisuuden takia kansantajuisuuteen on ehkä vaikeampi päästä matematiikassa kuin joissakin muissa tieteissä, mutta ”tieteestä kiinnostuneelle” asia olisi voinut avautua edes vähän jostain seuraavantapaisesta selityksestä:

Kokonaiset funktiot ovat siististi käyttäytyviä kompleksimuuttujan funktioita. Ne on määritelty kaikkialla kompleksitasossa ja niillä on derivaatta tason jokaisessa pisteessä. Sellaisia ovat esimerkiksi polynomi- ja eksponenttifunktiot. Tällaisella funktiolla voi olla raja-arvoja, kun ääretöntä lähestytään jotain käyrää pitkin. Näitä kutsutaan asymptoottisiksi raja-arvoiksi. Denjoyn otaksuma kertoo niiden määrästä.

Lehdon ansioksi on sanottava, että hänen tekstissään on mainittu kaksi käsitettä – kokonainen funktio ja asymptoottinen raja-arvo – jotka auttavat harrastunutta lukijaa jäljittämään asiaa. Vielä lyhyemmin asia esitellään Helsingin yliopiston Ahlforsista kertovalla historiasivulla [5]. Sen mukaan Denjoyn otaksuma on ”kokonaisten funktioiden käyttäytymistä valaiseva hypoteesi”. Näin suppea kuvaus ei enää tarjoa kiinnekohtaa ymmärtämiselle.

Verkkoartikkelin pituus ei ole niin tarkkaan rajattu kuin paperilehdessä, joten olisi siihen luullut pienen selittävän tekstilisän mahtuneen. Vaikea on tietysti sanoa, kuvaako selityksen pinnallinen mitäänsanomattomuus kirjoittajan kulttuurikäsitystä vai hänen tietojaan matematiikasta tai odotuksiaan lukijoiden vastaanottokyvystä. Matematiikkatietouden levittämistä se ei ainakaan palvele.

Esimerkiksi eksponenttifunktiolla $ w = e^z $ on asymptoottinen raja-arvo nolla, kun ääretöntä lähestytään negatiivista reaaliakselia pitkin. Tilanne on miellettävissä ajattelemalla reaaliarvoisen eksponenttifunktion $ e^x $ käyttäytymistä, kun $ x $ pienenee rajatta, sillä vastaavasta asiastahan on kyse kompleksitason reaaliakselia pitkin kuljettaessa.

Kohti ymmärtämistä

Lehto on varmaankin oikeassa siinä, että matematiikan syvällinen ymmärtäminen on asiantuntijoiden erikoisoikeus. Yleistajuistaminen käy sitä vaikeammaksi, mitä ylemmäs kiivetään abstraktin hierakkisuuden portaita. Lehdon oma ala – funktioteoria tai kompleksianalyysi, millä nimellä sitä halutaankaan kutsua – vaatiikin paljon peruskäsitteitä, jotta sitä voitaisiin kuvata kunnolla [6].

Ymmärtämistä on kuitenkin monentasoista. Perustasolla ymmärtäminen on ensisijaisesti elämyksellinen, tunteenomainen kokemus. Maallikolle riittää usein se, että tuntee ymmärtävänsä,  mikä tarkoittaa sitä, että on pystynyt liittämään uudet käsitteet aikaisemmin hallitsemaansa tietoon. Opettajan ymmärrykselle on vielä se lisävaatimus, että sen mitä ymmärtää, pitää olla oikeansuuntaista, jotta ei anna oppilaille virheellisiä mielikuvia. Tiedollisessakin ymmärtämisessä on monta ammattimatemaatikon vaatimuksia yksinkertaisempaa tasoa.

Tavallisten ihmisten (joita opettajatkin monessa mielessä ovat) ajattelu on usein niin konkreettista, että se tarvitsee tuekseen kuvia tai esinemalleja. Koulussa opittavien reaalilukufunktioiden kuvaajat voidaan esittää graafisesti tavallisessa kaksiulotteisessa koordinaatistossa. Kompleksifunktioille tämä ei riitä. Kompleksiluvun reaaliosalle ja imaginaariosalle tarvitaan kummallekin oma, toisesta riippumaton ulottuvuutensa. Jo siis lähtöjoukko eli kokonaisten funktioiden kohdalla kompleksitaso on kaksiulotteinen. Kompleksifunktion arvot ovat kompleksilukuja, joten arvojoukkokin on kaksiulotteinen. Kuvaajan esittämiseen tarvitaan siis neliulotteinen avaruus.

Tämä ei ole ylittämätön este! Voidaanhan kolmiulotteisista kappaleistakin piirtää kaksiulotteisia kuvia. Neliulotteisen avaruuden esittämiseen on useita mahdollisuuksia. Helpoimmin ymmärrettävä on ehkä sekä lähtöjoukon että maalijoukon esittäminen omalla kompleksitasollaan (kuva 2) [9] .

Vielä tiiviimmäksi esitys saadaan, kun sekä lähtö- että maalijoukko piirretään samaan koordinaatistoon väreillä eroteltuina (kuva 3) [7].

Havainnollistus saadaan yhteen kuvaan myös käyttämällä värikoodausta, vektorikenttää tai projektiokuvaa (kuva 4). Verkossa on sekä ilmaisia työvälineitä [8], [9] että kaupallisia tuotteita [10].

Matematiikalla on nykyään niin suuri vaikutus jokapäiväiseen elämäämme, että yleistajuisen kirjoittelun matemaatikkojen tekemisistä ja aikaansaannoksista voisi hyvällä syyllä katsoa kuuluvan matemaatikon työnkuvaan itsestään selvänä velvollisuutena. Onneksi matemaatikkojen joukossa on ilahduttavia poikkeuksia kuten Samuli Siltanen, jonka kirjan Kaisa Vähähyyppä esitteli tässä lehdessä viime elokuulla [11].

Yleistajuisten matematiikantekstien merkitys ei suinkaan rajoitu vain tavallisten ihmisten matemaattisen sivistyksen laajentamiseen, vaan niillä on suuri merkitys myös kouluopetukselle. Opettajan on nimittäin hyvä tuntea ja ymmärtää opettamaansa asiaa sekä laajemmin että syvällisemmin kuin oppilaiden oppikirjoihin sisältyy. Siksi olisi kovin toivottavaa, että matemaatikot jatkaisivat entistä uutterammin Siltasen viitoittamalla tiellä. Suoran väylän kouluihin tarjoaisi muiden muassa tämä Dimensio-lehti.

Suuret kiitokset tästä jutusta kuuluvat Matti Lehtiselle, joka osasi ohjata kokonaisten kompleksifunktioiden asymptoottisten raja-arvojen jäljille, ja Kaisa Vähähyypälle, joka vahvisti uskoani siihen, että yleistajuistamista tarvitaan ja että se on mahdollista.

Lisää luettavaa ja tutkittavaa:

[1]     Lehto, O. Tieteen huipulla. Lars Ahlforsin elämä. Bidrag till kännedom av Finlands folk och kultur 192. Societas Scientiarum Fennica, Helsinki 2013.

[2]     du Sautoy, M. The Rieman Hypothesis: from Random Primes to Orderly Zeros. Saman tekijän teoksessa Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics, luku IV. HarperCollins Publishers, New York 2011.

[3]     Rockmore, D. Stalking the Riemann Hypothesis. Jonathan Cape, London 2005.

[4]     Szpiro, G. Poincare’s Prize, The Hundred-Year Quest to Solve One of Math’s Greatest Puzzles. Plume Books 2008.

[5]     Yliopiston historia, Oivallus 08/05: Oivaltavaa matematiikkaa. Verkkosivulla

http://www.helsinki.fi/yliopistonhistoria/oivallukset/8_oivallus.htm, viitattu 21.12.2019.

[6]     Kilpeläinen. T. Kompleksianalyysi. osoitteessa https://docplayer.fi/5109140-Kompleksianalyysi-tero-kilpelainen.html, viitattu 12.1.2019.

tai kevyempi luettava

Kivelä, S. Kompleksiluvut osoitteessa  http://matta.hut.fi/matta/kompleksiluvut/cluvut.pdf, viitattu 30.12.2019.

[7]     Eksponenttifunktio kompleksitasossa, matletti osoitteessa https://www.geogebra.org/m/fu2h8dyb.

[8]     Complex function grapher osoitteessa http://jutanium.github.io/ComplexNumberGrapher/, viitattu 23.12.2019.

[9]     UCSC complex function plotter osoitteessa https://people.ucsc.edu/~wbolden/complex/#z, viitattu 23.12.2019.

[10]   Visualizing Functions of a Complex Variable osoitteessa https://www.pacifict.com/ComplexFunctions.html, viitattu 23.12.2019.

[11]   Siltanen, S. Astu matematiikan maailmaan. Otava, 2019.