Matematiikka, niin … abstraktia! (täydennä genetiivillä)
Tuomas Hytösen esitelmä Suomen Tiedeseuran kokouksessa 16.9.2019.
Kielitoimiston sanakirja 2018 määrittelee abstraktin ajatukselliseksi, käsitteelliseksi, epähavainnolliseksi. Svenska Akademiens ordlista 2015 on jokseenkin samoilla linjoilla: uppfattbar endast för tanken, begreppsmässig, inte konkret, ogripbar. Näitä vanhempi ja kattavampi Nykysuomen sanakirja kehittelee viimeksi mainittua selitystä vielä pitemmälle: vaikeatajuinen, hämärä, todellisuudelle vieras! Luulen, että jokin tämän tapainen merkitys on päällimmäisenä mielessä ainakin niillä, jotka ovat taipuvaisia täydentämään otsikon jollakin kielteisellä ilmaisulla, kenties jopa kirosanalla.
Englannin kielen abstract-sanalle on tarjolla laajempi kokoelma merkityksiä, jotka väistämättä kartuttavat myös suomalaisen vastineensa käyttöaluetta. Wiktionary.org tarjoaa yhdentoista adjektiivisen selityksen listalla neljäntenä kohtana seuraavan: considered apart from any application to a particular object, not concrete, ideal, non-specific, general. Haluan kiinnittää huomiota erityisesti viimeiseen, yksisanaiseen ja yksinkertaiseen merkitykseen: abstrakti tarkoittaa yleistä! Tämä on se lähin merkitys, joka minulla on mielessä, kun nyt sanon, että matematiikka on ihanan abstraktia, siis ihanan yleistä. Matematiikka tarkastelee totuuden rakennetta irrallaan sen yksittäisistä havaittavista ilmentymistä.
Lähestyn seuraavaksi yleisyyttä ehkä paradoksaalisesti esimerkin kautta. Suureiden välisiä riippuvuussuhteita on kahdenlaisia: lineaarisia ja epälineaarisia. Lineaarinen tarkoittaa sekä kirjaimellisesti että kuvaannollisesti suoraviivaista. Vaikka lineaarisetkin riippuvuudet voivat esimerkiksi ääretönulotteisissa avaruuksissa (kyllä, matemaatikot puhuvat avaruuksista monikossa!) olla varsin viheliäisiä, ne ovat kuitenkin lähtökohtaisesti vähemmän viheliäisiä kuin epälineaariset. Tästä syystä on perustuvanlaatuinen tarve ymmärtää, milloin epälineaarista riippuvuutta voidaan riittävällä tarkkuudella arvioida lineaarisella mallilla.
Tykistössä palvellut tuttavani kertoi, että hänelle oli opetettu seuraava nyrkkisääntö: kun tykinputken nousukulma kaksinkertaistetaan, myös ammuksen kantama kaksinkertaistuu. Helppo lineaarinen riippuvuus, mutta kuinkahan hyvin se pitää paikkansa? Ajatellaanpa, että tykki laukaistaan ensin 45 asteen kulmassa yläviistoon ja sitten 90 asteen kulmassa suoraan ylöspäin. On selvää, ettei toinen yritys kanna ainakaan ensimmäistä pitemmälle, mutta sen sijaan ampujan on paras tämän kokeen jälkeen ottaa jalat alleen.
Onko meidän nyt syytä olla huolissamme isänmaan puolustuksesta? Ei välttämättä. Jos puheena olleella tykkityypillä käytännössä ammutaan melko pienillä nousukulmilla, lineaarinen malli antaa varsin hyvän arvion. Tietyillä yksinkertaistavilla oletuksilla kantomatka on laskettavissa lukiofysiikan tiedoilla, ja tarkassa kaavassa esiintyvän trigonometrisen funktion poikkeamaa lineaarisesta lausekkeesta on helppo arvioida.
Yleisemmin lukiomatematiikasta tuttu derivaatta (silloin kun se on olemassa) antaa keinon lineaarisen mallin muodostamiseksi mille tahansa epälineaariselle riippuvuudelle. Derivaatan määritelmästä seuraa, että tarkasteltavaa parametriväliä kutistamalla saadaan alkuperäisen ja lineaarisen mallin välinen virhe niin pieneksi kuin toivotaan. Mutta kuinka pieneksi tarkasteluväli sitten on valittava, jos halutaan, että virhe on vaikkapa korkeintaan kaksi prosenttia? Tykkiesimerkissä tai muissa tapauksissa, joissa alkuperäinen epälineaarinen riippuvuus on useammin kuin yhdesti derivoituva, virhettä voidaan tehokkaasti arvioida toisen derivaatan tai vastaavan lisäinformaation avulla. Mutta olisiko kysymykseen mahdollista vastata sellaisilla minimaalisilla oletuksilla, joilla lineaarisella mallilla arvioimisesta on ylipäätään mielekästä puhua? Tällaiset yleispätevät vastaukset, jotka sellaisenaan eivät liity mihinkään tiettyyn tilanteeseen tai olosuhteeseen ja juuri siksi voivat liittyä kaikkeen, muodostavat matematiikan kovan ytimen.
Kuinka pieni on tarkasteluvälin oltava, jotta minimaaliset yleiset oletukset (tekninen termi on ns. Lipschitzin ehto) toteuttava riippuvuus voidaan aina vähintään sen kokoisella välillä korvata lineaarisella mallilla, ilman että suhteellinen virhe kasvaa annettua rajaa suuremmaksi? Lähtökohtaisesti on kaikkea muuta kuin selvää, että mitään positiivista vastausta on edes olemassa: voisihan osoittautua, että eri tilanteet vaativat rajoittumista toinen toistaan pienemmille tarkasteluväleille, niin että lopulta yhdeksi pisteeksi surkastunut nollamittainen väli on ainoa universaali vastaus! Kuitenkin 20 vuotta sitten (1999) Sean Bates ja kumppanit osoittivat, että vastaus kylläkin on jokin positiivinen luku, mutta käytetty epäsuora menetelmä ei antanut mitään viitettä sen suuruudesta. Tämä on aika yleinen matemaattisten tulosten luonne, ja tällaista ratkaisua voi ihan perustellusti kritisoida turhan abstraktiksi sanan vähemmän imartelevissa merkityksissä, mutta sellaisenaankin se kertoo jotakin syvällistä ja uutta totuuden rakenteesta.
Täsmällisempää vastausta samaan kysymykseen selvitin yhteistyökumppanini Assaf Naorin kanssa artikkelissa Heat flow and quantitative differentiation, joka ilmestyi tämän vuoden (2019) heinäkuussa. Projektia voi pitää sekä menestyksenä että pettymyksenä. Toisaalta onnistuimme määrittämään lineaarisen mallin yleiselle vähimmäispätemisalueelle selkeän, yksinkertaisen lausekkeen. Toisaalta tämän kaavan antama lukuarvo on niin häviävän pieni, että se on muiden kuin teoreettisten tarkastelujen kannalta täysin hyödytön: lineaarisen mallin järkevän pätemisalueen takaamiseksi yksittäisissä sovelluksissa on edelleen tarpeen vedota niiden erityispiirteisiin universaalin alarajan sijaan.
Nyt on paikallaan vielä pari sanaa artikkelimme nimestä. Heat flow, lämpövirtaus – mitä tekemistä sillä on minkään tähän asti puheena olleen kanssa? Ei varsinaisesti olekaan, sanan arkipäiväisessä taikka fysikaalisessa merkityksessä. Kuitenkin lämmönjohtumisen matemaattisessa mallissa esiintyvä ns. lämpöydin sattuu olemaan yksi matematiikan monikäyttöisimmistä olioista. Täsmälleen sama lauseke näyttäytyy tilastotieteen keskeisessä normaalijakaumassa, joka tunnetaan myös Gaussin kellokäyränä. Lämpöytimen hyödyntäminen meidän tutkimuksessamme ei suinkaan ole sen kolmas vaan luultavammin kolmastuhannes erilainen uusiokäyttö matematiikassa – siis todellista kiertotaloutta! Abstraktit käsitteet elävät ja ilmenevät yhä uusissa muodoissa. Myös meidän tutkimuksemme parhaiten aikaa kestävä anti lienee lopulta sen esittelemissä yleisissä menetelmissä, pikemmin kuin alkuperäisen kysymyksen ratkaisussa. Ainakin tähänastiset viittaukset työhömme tukevat tätä arvioita.
Kommentoin lopuksi lyhyesti matemaattisen totuuden luonnetta. Lainaan tässä väljästi vuoden 2010 matematiikan Fieldsin-mitalistia, nyttemmin Ranskan kansalliskokouksen jäsentä Cedric Villania eräästä hänen esitelmästään. Matematiikan suurimpana avoimena kysymyksenä pidetään yleisesti alkulukujen jakaumaan liittyvää, saksalaisen Bernhard Riemannin 160 vuotta sitten (1859) Berliinin akatemialle esittelemää hypoteesia, joka koskee ns. zeetafunktion nollakohtia. Nykyaikaiset tietokonelaskelmat ovat sittemmin vahvistaneet, että ainakin 10 biljoonaa eli kymmenentuhatta miljardia ensimmäistä nollakohtaa toteuttaa hypoteesin, mutta lopullinen totuus on kuitenkin yhä auki. Millä tahansa muulla alalla tämä todistusaineisto olisi ylitsevuotavaisen riittävä. Hiukkasfyysikko olisi varmaankin tyytyväinen miljoonaan teoriaansa tukevaan mittaukseen, riistaeläinbiologi ehkä tuhanteen ja finanssikriiseihin erikoistunut taloustieteilijä mahdollisesti kolmeen. Tarkoitukseni ei suinkaan ole väheksyä ketään näistä: niin tieteessä kuin jokapäiväisessä elämässäkin on tietenkin välttämätöntä kyetä tekemään järkeviä johtopäätöksiä kulloinkin saatavilla olevan, käytännössä aina epätäydellisen tiedon valossa. Matemaattinen totuus ei kuitenkaan ole sitä, mihin kaikki saatavilla oleva aineisto näyttää viittaavaan, vaan sitä, minkä aukoton päättely yleisesti osoittaa. Lopetan kysymykseen: onko tällaisen abstraktin totuuden tunteminen tietoa vai onko se ymmärrystä?
Aloituskuva: Henrik Dønnestad / Unsplash
